1
CHIZIQSIZ REGRESSIYA
1. Chiziqsiz regressiya modellari: parabola, giperbola, n-darajali parabola.
2. Chiziqsiz regressiya modellari: ko‘rsatkichli funksiya, darajali funksiya,
logistik funksiya.
3. Chiziqsiz regressiya modellarining parmetrlarini baholash uchun Eng
kichik kvadratlar” (EKK).
Tayanch iboralar: Bir omilli regression bog‘lanishlar, korrelyatsiya
koeffitsienti, chiziqsiz regressiya.
1. Chiziqsiz regressiya modellari: parabola, giperbola, n-darajali parabola
Tajribalar shuni ko‘rsatadiki chiziqsiz regressiyalar ichida ko‘proq ikkinchi
tartibli parabola, ayrim hollarda uchinchi tartibli parabola ishlatiladi. Yuqori
tartibli polinomlarni qo‘llashdagi chegaralanishlar o‘rganilayotgan to‘plamning
bir jinsliligi bilan bog‘liq, polinom darajasi qancha yuqori bo‘lsa egri chiziqdagi
sinishlar shuncha ko‘p bo‘ladi va mos ravishda natijaviy belgi to‘plami ham bir
jinsli bo‘lmaydi. Undan tashqari ma’lumotlarni to‘plashda va hisoblashlarda
noaniqliklar keltirib chiqaradi.
Ikkinchi tartibli parabolani omil belgi qiymatlarining ma’lum bir oraliqda
qaralayotgan o‘zgaruvchining bog‘lanish xususiyatini o‘zgarishiga: ya’ni to‘g‘ri
bog‘lanishni teskari bog‘lanishga, teskari bog‘lanishni to‘g‘ri bog‘lanishga olib
keladigan holatlarda qo‘llash maqsadga muvofiq. Bunday holatlarda omil
belgining natijaviy belgini ekstrimal (maksimal yoki minimal) qiymatga
erishtiruvchi qiymati aniqlanadi.
2
Buning uchun ikkinchi darajali parabolaning hosilasi nolga tenglashtiriladi;
ya’ni
2
ˆ
x
a
x
b
c
yx
dan hosila olamiz va `, bundan
a
b
x
2
hosil bo‘ladi.
Ikkinchi darajali parabola
–
2
2
1
0
x
a
x
a
a
y
Uchinchi darajali parabola –
3
3
2
2
1
0
x
a
x
a
x
a
a
y
n-darajali parabola
–
n
nx
a
x
a
x
a
a
y
...
2
2
1
0
Giperbola
–
x
a
a
y
1
0
b- darajali giperbola
–
b
x
a
a
y
1
0
Agar iqtisodiy jarayonlar orasida chiziqsiz munosabatlar mavjud bo‘lsa, u
holda ular mos ravishda chiziqsiz funksiyalar orqali ifodalanadi: masalan; teng
tomonli giperbola,
;
x
b
a
y
ikkinchi tartibli parabola,
2
x
c
x
b
a
y
va
boshqalar.
Chiziqsiz regressiya ikki sinfga bo‘linadi:
- tenglamaga kiritilgan o‘zgaruvchilarga nisbatan chiziqsiz, lekin baholanuvchi
parametrlar bo‘yicha chiziqli regressiyalar;
- aniqlanuvchi parametrlar bo‘yicha chiziqsiz regressiya.
Kiritilgan o‘zgaruvchilarga nisbattan chiziqsiz regressiyaga quyidagi
funksiyalar misol bo‘la oladi:
- turli darajali polinomlar, -
;
2
x
c
x
b
a
y
;
3
2
x
d
x
c
x
b
a
y
- teng tomonli giperbola -
.
x
b
a
y
Baholanuvchi parametrlar bo‘yicha chiziqsiz regressiyaga:
- darajali -
;
b
x
a
y
- ko‘rsatkichli -
x
b
a
y
;
- eksponensial -
bx
a
e
y
- funksiyalar misol bo‘la oladi.
Tenglamaga kiritilgan o‘zgaruvchilar bo‘yicha chiziqsiz regressiyaning
parametrlarini baholash ko‘p qiyinchiliklarni yuzaga keltirmaydi. Ular chiziqli
regressiyadagi kabi eng kichik kvadratlar usuli (EKKU) bilan aniqlanadi.
3
Ikkinchi darajali parabola tenglamasida
,
2
2
1
0
x
a
x
a
a
y
o‘zgaruvchilarni
2
2
1
x
,
x
x
x
, deb almashtirib quydagi ikki omilli chiziqli
regressiya tenglamasini olamiz;
.
2
2
1
1
0
x
a
x
a
a
y
Mos ravishda uchinchi, to‘rtinchi va hokazo
k tartibli polinomlarda ushbu
usulni qo‘llab, uch, to‘rt va hokazo k omilli chiziqli regressiya modellarini olish
mumkin.
Misol uchun
k
k x
a
x
a
x
a
a
y
...
2
2
1
0
,
k tartibli polinomda
k
k x
a
x
a
x
a
a
y
...
2
2
1
1
0
, ko‘p omilli chiziqli regressiya modelini hosil
qilamiz. Ushbu tenglamalarning parametrlarni EKKU bilan hech qanday
qiyinchiliksiz aniqlash mumkin.
9.2. Chiziqsiz regressiya modellari: ko‘rsatkichli funksiya, darajali
funksiya, logistik funksiya
Logarifmik
–
x
a
a
y
1
0
log
Yarim logarifmik
–
x
a
a
y
ln
1
0
Ko‘rsatkichli funksiya –
x
a
a
y
1
0
Darajali funksiya
–
1
1
0
a
x
a
y
Logistik funksiya
–
bx
e
a
a
y
1
0
1
Chiziqsiz regressiya tenglamasi chiziqli bog‘lanish kabi korrelyasiya
ko‘rsatkichlari, aynan quyidagi korrelyasiya indeksi ( R ) bilan to‘ldiriladi.
,
1
2
2
y
qol
R
bu yerda:
2
y
- y natijaviy belgining umumiy dispersiyasi;
2
qol
-
)
(
ˆ
x
f
yx
regressiya tenglamasidan kelib chiqib aniqlaniladigan qoldiq dispersiya.
Korrelyasiya indeksini quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
4
.
)
(
)
ˆ
(
1
2
2
y
y
y
y
R
x
Ushbu ko‘rsatkichning qiymati
1
,
0
orlig‘ida yotadi, ya’ni
1
0
R
,
ko‘rsatkich qanchalik 1 ga yaqin bo‘lsa o‘rganilayotgan belgilar orasidagi
bog‘lanish shunchalik zich bo‘ladi va tuzilgan regressiya tenglamasi shunchalik
haqiqatga yaqin bo‘ladi.
Misol.
Kichik
korxonalarning
yillik
tovar
oboroti
va
muomala
harajatlarining nisbiy darajasi to‘g‘risida quyidagi ma’lumotlar keltirilgan:
Йиллик товar oboroti,
mlrd. so‘m
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
Muomala harajatlarining
nisbiy darajasi, %
25,0
23,0
22,0
22,5
22,2
22,0
21,4
Jadval ma’lumotlariga asosan tovar oboroti va muomala harajatlari orsida
teskari bog‘lanish mavjud bo‘lganligi sababli bog‘lanish giperbola tenglamasi
orqali aniqlanadi va unga mos normal tenglamalar sistemasining à va
b koeffisientlari qiymatini topish hamda hosil bo‘lgan regressiya tenglamasida
hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun quyidagi jadvalni tuzamiz:
Regressiya tenglamasining hisob-kitobi
m/r
Yillik tovar
oboroti,
mln.so‘m,
(x)
Muomala xara-
jatining nisbiy
darajasi, %, (y)
x
yx
1
2
,
38
4
,
17
1
5.0
25.0
0.200
5.000 0.0400
10
,
25
x
y
2
6.0
23.0
0.167
3.841 0.0278
81
,
23
x
y
3
7.0
22.0
0.143
3.146 0.0204
60
,
23
x
y
4
8.0
22.5
0.125
2.813 0.0156
20
,
22
x
y
5
5
9.0
22.2
0.111
2.464 0.0123
60
,
21
x
y
6
10.0
22.0
0.100
2.200 0.0100
30
,
21
x
y
7
11.0
21,4
0,091
1,955 0,0080
00
,
21
x
y
∑
-
158,1
0,937 21,419 0,1321
158,1
Jadval ma’lumotlari asosida normal tenglamalar sistemasini tuzamiz:
41
,
21
132
,
0
937
,
0
1
,
158
937
,
0
7
b
a
b
a
Tenglamalarni yechib a= 17,4 va v = 38,2 natijalarni olamiz. U holda,
regressiya tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
x
yx
1
2
,
38
4
,
17
.
Hosil bo‘lgan regressiya tenglamasi uchun korrelyasiya indeksi quyidagiga
teng:
82
,
0
.
)
(
)
ˆ
(
1
2
2
y
y
y
y
R
x
.
Bu natija o‘rganilayotgan belgilar orasidagi bog‘lanish zichligi yuqori
ekanligini ko‘rsatadi.
Giperbola tenglamasidagi a- parametr tovar oborotining 1 mln. so‘mga
o‘zgarishi muomala harajatlarini qancha o‘zgarishga olib kelishini ko‘rsatadi.
Buning uchun regressiya tenglamasidan birinchi tartibli hosila olinadi:
2
1
1
x
b
x
b
a
yx
%
53
,
1
25
1
2
,
38
5
y
%
60
,
0
64
1
2
,
38
8
y
%
06
,
1
36
1
2
,
38
6
y
%
47
,
0
81
1
2
,
38
9
y
%
78
,
0
49
1
2
,
38
7
y
%
38
,
0
100
1
2
,
38
10
y
6
Tovar oborotining hajmi 5 mln. so‘mdan 6 mln. so‘mgacha ortganda, ya’ni
1mln. so‘mga farq qilganda, muomala harajatlarining nisbiy darajasi 1,53 foizga
kamayadi. Yuqori tovar oborotiga ega bo‘lgan korxonalarda esa muomala
harajatlari 0,38 foizga pasayishiga olib keladi.
9.3. Chiziqsiz regressiya modellarining parmetrlarini baholash uchun
“Eng kichik kvadratlar” (EKK)
Agar berilgan ma’lumatlar bog‘lanish yo‘nalishini o‘zgarishini ta’minlay
olmasa, u holda ikkinchi tartibli parabola parametrlarining ma’nosini tushinish
qiyin bo‘ladi. Bunday holatda bog‘lanish shakli boshqa chiziqsiz model bilan
almashtiriladi.
Ikkinchi darajali parabolaning
,
,
,
c
b
a
paramerlarining qiymatlarini topish
EKKUni qo‘llab quydagi normal tenglamalar sistemasini matematikaning biror
bir usulini qo‘llab yechishga olib keladi:
.
x
y
,
,
4
3
2
2
3
2
2
x
c
x
b
x
a
x
c
x
b
x
a
x
y
x
c
x
b
a
n
y
(6.1)
0
b
va
0
c
bo‘lganda egri chiziq eng yuqori nuqtaga, ya’ni egri chiziqning
sinish, bog‘lanish yo‘nalishini o‘zgartirish nuqtasiga nisbatan simmetrik bo‘ladi,
aynan o‘sish pasayishga o‘zgaradi. Bunday funksiyalarnini iqtisodiyotda jismoniy
mehnat bilan shug‘ullanuvchi ishchilarning ish haqini ularning yoshiga
bog‘liqligini o‘rganishda kuzatish mumkin. Ishchilarning yoshi kattalashib
borgan sari ularning tajribasi ortishi bilan birga ularning malakasi ham
yuqorilashib ish haqi ko‘payib boradi. Lekin ma’lum bir yoshdan boshlab
organizimni qarishi natijasida mehnat samaradorligini pasayishi ishchining ish
haqqini pasayishiga olib kelishi mumkin.
Agar o‘zaro bog‘lanishning parabolik shakli natijaviy ko‘rsatkichni avval
o‘sishini, so‘ngra pasayishini namoish etsa, u holda omil belgining natijani
7
maksimumga
erishtiradigan
qiymati
topiladi.
Masalan,
oilada
maxsulot(birligini) daromad darajasiga bog‘liq holda iste’mol qilinishi
2
60
5
ˆ
x
x
yx
tenglama bilan tavsiflansin. Tenglamaning birinchi tartibli
hosilasini nolga tenglab
0
2
60
ˆ1
x
yx
, maksimal iste’mol miqdorini beruvchi
daromad qiymatini topamiz, ya’ni
30
x
ming so‘mda iste’mol maksimal
darajaga yetadi.
0
b
va
0
c
bo‘lganda ikkinchi darajali parabola o‘zining eng quyi
nuqtasiga simmetrik bo‘ladi. Bunday holat funksiyaning bog‘lanish yo‘nalishini
(kamayishni o‘sishga) o‘zgartiruvchi eng kichik qiymatni topish imkonini beradi.
Faraz qilaylik ishlab chiqarish harajatlarini ishlab chiqarilgan maxsulot hajmiga
bog‘liqligi quyidagi tenglama bilan tavsiflansin:
2
2
60
1200
ˆ
x
x
yx
,
bu holatda eng kam harajatga
15
x
maxsulot birligi ishlab chiqarilganda
erishiladi
0
2
2
60
x
.
Bunga quyidagi jadvaldagi x ning qiymatlarini tenglamaga qo‘yib ko‘rib
ishonch hosil qilish mumkin:
x
10
11
12
13
14
15
16
17
y
800
782
768
758
752
750
752
758
Ikkinchi tartibli parabola egri chizig‘i simmetrik bo‘lganligi sababli u aniq
tadqiqotlarda har doim ham qo‘llanilavermaydi. Tadqiqotchi ko‘pincha
parabolaning to‘liq shakli bilan emas balki, uning ayrim segmentidan foydalanib
ish yuritadi. Parabolik bog‘lanishning parametrlari har doim ham mantiqqa ega
bo‘lavermaydi. Shuning uchun bog‘lanish grafigi ikkinchi tartibli parabolani aniq
ifodalamasa, u boshqa chiziqsiz funksiyaga almashtiriladi, masalan darajali
funksiyaga. Ikkinchi tartibli parabola ko‘proq qishloq xo‘jaligida xosildorlikni
berilgan o‘g‘itlar miqdoriga bog‘liqligini tavsiflash uchun qo‘llaniladi.
Bog‘lanishning bu shakli quyidagicha asoslanadi, -o‘simlikka berilayotgan
o‘g‘itning miqdori ortishi bilan hosildorlik, faqat berilayotgan o‘g‘itning miqdori
optimal dozasiga yetgunga qadar oshib boradi, deyiladi. Dozaning keyingi ortishi
8
o‘simlik uchun zarar va hosildorlikni kamayishiga olib keladi. Shuning uchun
amalda bunday bog‘lanish ko‘proq parabolaning segmenti ko‘rinishida beriladi.
Nazorat uchun savollar
1. Agar belgilar orasidagi bog‘lanish yo‘nalishining o‘zgarishi kuzatilmasa
ikkinchi tartibli parabola qanday Chiziqsiz funksiya bilan almashtirilishi
mumkin?
2. Chiziqsiz regressiya qanday sinflarga bo‘linadi? Ularni ko‘rinishini yozing.
3. k-tartibli Chiziqsiz tenglamalardan qanday qilib k omilli chiziqli regressiya
modellarini olish mumkin?
4. Bog‘lanishlarni ifodalash uchun ikkinchi tartibli parabolani qanday holatlarda
qo‘llash mumkin?
5. Ikkinchi tartibli parabolada v va s parametrlarning qiymatlari nuldan katta va
kichik bo‘lishiga qarab egri chiziqni iqtisodiy nuqtai nazardan tahlil qiling.
6. Nima uchun tadqiqotchi parabolaning to‘liq shakli bilan emas, balki uning
ayrim segmentidan foydalanib ish ko‘radi?
7. Fillips egri chizig‘i haqida nimani bilasiz va u qanday masalani yechishda
qo‘llanilgan?
8. Engel egri chizig‘i qanday bog‘lanishni ifodalaydi va u qaysi masalani
yechishda qo‘llanilgan?
9. Chiziqsiz regressiya uchun korrelyasiya qanday hisoblanadi?
10. Chiziqsiz regressiyada EKKU qo‘llashning o‘ziga hos xususiyatlari nimadan
iborat?
9
9.1. Чизиқсиз регрессия моделлари: парабола,
гипербола, n-даражали парабола.
Агар иқтисодий жараёнлар орасида чизиқсиз муносабатлар
мавжуд бўлса, у ҳолда улар мос равишда чизиқсиз функциялар
орқали ифодаланади: масалан; тенг томонли гипербола,
иккинчи тартибли парабола,
ва бошқалар.
Чизиқсиз регрессия икки синфга бўлинади:
тенгламага киритилган ўзгарувчиларга нисбатан чизиқсиз,
лекин баҳоланувчи параметрлар бўйича чизиқли регрессиялар;
аниқланувчи параметрлар бўйича чизиқсиз регрессия.
;
x
b
a
y
2
x
c
x
b
a
y
10
Киритилган ўзгарувчиларга нисбаттан чизиқсиз
регрессияга қуйидаги функциялар мисол бўла олади:
-турли даражали полиномлар,
-тенг томонли гипербола
;
2
x
c
x
b
a
y
;
3
2
x
d
x
c
x
b
a
y
.
x
b
a
y
• Баҳоланувчи параметрлар бўйича чизиқсиз
регрессияга:
• - даражали
• - кўрсаткичли –
•
• - экспоненциал -
;
b
x
a
y
x
b
a
y
bx
a
e
y
11
• Иккинчи даражали парабола
тенгламасида
• ўзгарувчиларни ,
• деб алмаштириб қуйдаги икки
омилли чизиқли регрессия
тенгламасини оламиз;
,
2
2
1
0
x
a
x
a
a
y
2
2
1 x
,
x
x
x
.
2
2
1
1
0
x
a
x
a
a
y
