Kirish. Mexanik harakat Mexanika materiya harakatining eng sodda turi haqidagi ta’limotdir. Bunday harakat jismlarning yoki jism qismlarining bir-biriga nisbatan ko‘chishidan iborat bo‘ladi. Mexanika ham, hamma tabiiy fanlar kabi, o‘zining qonun-qoidalarini tajribalardan olingan ma’lumotlarni umumlashtirish yo‘li bilan aniqlaydi. Jismlarning ko‘chishini kuzatish tajribalari eng sodda tajribalardandir. Odamlar, kundalik turmushida va har qanday ishlab chiqarish jarayonida jismlarning ko‘chishini ko‘radilar. Shuning uchun mexanik tasavvurlar juda yaqqol bo‘ladi. Mexanikaning boshqa tabiiy fanlardan oldinroq rivojlanishiga ham sabab ana shu. Mexanik harakatda bir jismning vaziyati boshqa jismlarga nisbatan o‘zgaradi. Masalan, poyezd temir yo‘l iziga nisbatan, trolleybus, avtobuslar binolarga, daraxtlarga nisbatan harakat qiladi va hokazo. Ammo temir yo‘l relsi va binolar, daraxtlarning o‘zi ham Yer bilan birga harakatlanib turadi. Tabiatda mutlaqo harakatsiz jism yo‘q. Tabiatdagi hamma jismlar harakatda bo‘lganligidan har qanday tinchlik nisbiydir. Har qanday tinchlik nisbiy bo‘lgani kabi, har qanday harakat ham nisbiydir. Shunday qilib, jismning fazoda boshqa jismlarga nisbatan vaqt o’tishi bilan vaziyatini o’zgartirishiga mexanik harakat deyiladi. Jismlarning harakati haqida ko‘pgina amaliy masalalarda berilgan jismlarning o‘lchami va shakli rol o‘ynamaydi va shuning uchun ko‘pincha, jismlarning harakatini bayon qilishda ularning o‘lchamlari nazarga olinmasligi mumkin. Bunday holda moddiy nuqta tushunchasi kiritiladi. Moddiy nuqta deb, tekshirilayotgan masofaga nisbatan o‘lchamlari juda kichik va shakli nazarga olinmasa ham bo‘ladigan jismlarga aytiladi. Masalan, Yerning Quyosh atrofidagi harakatini o‘rganishda Yer va Quyoshni moddiy nuqtalar deb olish mumkin. Yerning o‘z o‘qi atrofidagi harakatini o‘rganishda esa Yerni moddiy nuqta deb qarash mumkin emas chunki Yerning shakli va o‘lchamlari uning aylanma harakati harakteriga ancha ta’sir ko‘rsatadi. Jismning harakatini tasvirlashda, ya’ni uni vaziyatining o‘zgarishini ko‘rsatishda, berilgan jismning harakati qaysi jismga yoki jismlar sistemasiga nisbatan qaralishini tanlab olish kerak. Mazkur jismning harakati qanday jism yoki jismlar sistemasiga nisbatan qaralayotgan bo‘lsa, o‘sha jism yoki jismlar sistemasi sanoq boshi sistemasi yoki sanoq sistemasi deb ataladi. Misol uchun harakatdagi avtobus salonida o‘tirgan yo‘lovchi haqida konduktor «yo‘lovchi harakatsiz o‘tiribdi», - deb aytadi. O‘tib ketayotgan avtobusni kuzatuvchi esa «yo‘lovchi mendan uzoqlashib bormoqda», - deydi. Yo‘lovchi harakatsiz o‘tiribdi, deb aytayotgan konduktor yo‘lovchining vaziyatini salondagi jismlarga nisbatan qaraydi, kuzatuvchi esa yo‘lovchining vaziyatini o‘ziga nisbatan yoki yonida turgan jismlarga nisbatan kuzatadi. Ikkita kuzatuvchi yo‘lovchining vaziyatini boshqa- boshqa ikki jismga nisbatan kuzatayotgani uchun turlicha xulosaga keladilar, ularning ikkalasi ham haqdir. Yerda jismlarning harakatini tekshirganda sanoq sistemasi qilib odatda Yer yoki Yerga nisbatan harakatsiz bo‘lgan turli jismlar olinadi. Sanoq sistemasi qilib olingan jismga biror koordinatalar sistemasi bog‘lanadi va bunga nisbatan jismlar harakati o‘rganiladi. Odatda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi qo‘llaniladi (1 – rasm). Bu holda jism turgan A nuqtaning vaqtning istalgan paytidagi vaziyati biror shartlashib olingan masshtabda OX o‘q bo‘yicha o‘lchangan “x”, OY o‘q bo‘yicha o‘lchangan “y” va OZ o‘q bo‘yicha o‘lchangan “z” masofalar bilan to‘liq aniqlanadi. x, y,z 1.1-rasm kesmalar A nuqtaning koordinatalari bo‘ladi. Shunday qilib, sanoq jismi, unga bog’langan koordinatalar sistemasi va vaqtni o’lchaydigan asbob birgalikda sanoq sistemasini tashkil etadi. Biz jismning vaziyatini va harakatini bir vaqtda turli sanoq sistemalariga nisbatan ko’rib chiqishimiz mumkin. Ayni bir jismning turli sanoq sistemalariga nisbatan koordinatalari har xil bo’lishi mumkin. Bu esa jismning vaziyati nisbiy ekanligini bildiradi. Moddiy nuqta harakati fazoda ma’lum chiziq bo‘ylab sodir bo‘ladi, bu chiziqning shakli turli-tuman bo‘lishi mumkin. Moddiy nuqtaning o‘z harakati davomidagi fazoda qoldirgan iziga trayektoriya deyiladi. Agar trayektoriya to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqli harakat, yoki aksincha, trayektoriya egri chiziqdan iborat bo‘lsa, egri chiziqli harakat deb ataladi. Moddiy nuqtaning biror vaqt oralig‘ida o‘tgan trayektoriyasining uzunligi o‘tilgan yo‘l deyiladi. Faraz qilaylik, moddiy nuqta biror trayektoriya bo‘ylab Р1 nuqtasidan Р2 nuqtasiga ko‘chgan bo‘lsa (1.2 – rasm). Bu vaqtda trayektoriya bo‘ylab hisoblangan A va V nuqtalar orasidagi masofa o‘tilgan yo‘lni ifodalaydi. Bu yulni S bilan belgilangan. Harakat trayektoriyasining bir nuqtasidan ikkinchi nuqtasiga yo‘nalgan kesmadan iborat bo‘lgan vektor kattalikka ko‘chish deyiladi (1.2 – rasm) va 𝑟 ⃗ bilan belgilanadi. Demak, moddiy nuqta harakatining boshlang’ich va oxirgi nuqtalarini tutashtiruvchi yo’nalgan to’g’ri chiziq kesmasiga ko’chish vektori deyiladi. To‘g‘ri chiziqli harakatda trayektoriya bilan ko‘chish ustma-ust tushadi. Bu holda moddiy nuqtaning bosib o‘tgan yo‘li ko‘chishning moduliga teng, ya’ni: 𝑆= |𝑟 ⃗| (1.1) 1.2-rasm Moddiy nuqtaning barobar vaqtlar oralig‘ida o‘tgan masofasiga qarab harakatlar tekis va notekis harakatlarga ajraladi. Fazo, vaqt va sanoq sistemalari haqida tushuncha Ma’lumki, mexanikaviy harakat jismning fazoda vaqt o‘tishi bilan ko‘chishidan iborat deb qaraladi. Bu ta’rifga jiddiy aniqlik kiritish kerak. Mexanikaviy harakatda bir jismning boshqalariga nisbatan ko‘chishi yuz beradi deyish lozim. Agar jism bittagina bo‘lsa, uning ko‘chishi haqida gapirishning ma’nosi yo‘q. Nisbatan ko‘chish yuz berayotgan sanoq sistemasini sanoq jismi deyish kerak, chunki amalda amalda sanoq sistemasi hamma vaqt biror jism yoki jismlar bilan bog‘liq bo‘ladi. Jismlar yo‘qligida fazoni tasavvur qilib bo‘lmaydi. Fazo va vaqt – materiyaning mavjudlik shaklidir. Nyuton tomonidan kiritilgan absolyut, harakatsiz va bo‘sh fazo tasavvuri ma’noga ega emas. Fazo, uning geometrik elementlari (nuqta, chiziq, sirt, hajm) tushunchalari moddiy, deyarli o‘zgarmas jismlar xossalarining abstraksiyalari sifatida yuzaga keldi. Nyuton mexanikasida fazo o‘zining barcha qismlarida bir jinsli va izotrop (ya’ni, uning yo‘nalishi xossalari yo‘nalishga bog‘liq emas) deb hisoblanadi; boshqacha aytganda, fizikaviy fazo Evklid geometriyasi bayon qilganidek tasavvur qilinadi. Bizning kursda qaraladigan mexanikaviy hodisalar uchun fazoni yuqori darajada aniqlik bilan Evklid fazosi kabi tasavvur qilish mumkin. Bu hodisalarni tahlil qilishda fazoni bir jinsli va izotrop deb hisoblash mumkin. Biroq absolyut harakatsiz, hech narsa bilan bog‘lanmagan fazoning mavjudligini taxmin qilish noto‘g‘ri: fazoni biz hamma vaqt muayyan jismlar, sanoq sistemalari bilan bog‘lagan holda tasavvur qilamiz. Nyuton nazariyasiga ko‘ra, vaqt – jismlarga bog‘liq bo‘lmagan holda mavjud bo‘lgan absolyut davomiylikdir. Buni ham asoslash qiyin; vaqt materiyaning mavjudlik formasi bo‘lganidan, davomiylikni materiyadan ajratib bo‘lmaydi. Bitta sanoq sistemasi doirasida barcha jarayonlar va hodisalar uchun yagona davomiylik o‘lchovini topish va yagona vaqt mavjud deyish mumkin. Biroq, nisbiyliknazariyasida ko‘rsatilganidek, bitta sanoq sistemasining turli joylarida sodir bo‘luvchi bir vaqtli voqealar, agar ularni harakatlanayotgan boshqa sanoq sistemasiga nisbatan qaralsa, ular turli vaqt momentlariyuz beradi. Demak, vaqtning o‘tishi sanoq sistemalarining nisbiy harakati bilan bog‘langan; barcha sanoq sistemalari uchun yagona, absolyut vaqt mavjud emas. Bu barcha holatlar barcha sanoq sistemalarida yorug‘lik tezlikning davomiyligi oqibatidir. Jarayonlarning davomiyligi harakat bilan bog‘liq, vaqt tushunchasi jismlarining bir-biriga nisbatan harakatidan ajralmasdir. Biroq, tezlik yorug‘lik tezligiga nisbatan juda kichik bo‘ladigan sekin nisbiy harakatlarda vaqtning sanoq sistemasining nisbiy harakatiga bog‘liqligi amalda juda kichik bo‘lib, uni tamomila nazarga olmasa bo‘ladi. Shu sababli ushbu kitobda qaraladigan deyarli barcha hodisalar va masalalar uchun Nyutonning absolyut va yagona vaqt haqidagi tasavvurlari tamomila o‘rinli deyish mumkin. Bunday qilish mumkin bo‘lmagan hollarda bu alohida aytib o‘tiladi. To‘g‘ri chiziqli tekis harakat Agar jism to‘g‘ri chiziqli harakatda teng vaqt oraliqlarida teng masofalarni bosib o‘tsa, jismning bunday harakati to‘g‘ri chiziqli tekis harakat deyiladi. Bundan to‘g‘ri chiziqli tekis harakatda jismning tezligi kattalik va yo‘nalish jihatidan o‘zgarishsiz qoladi. Agar t vaqt davomida jism S yo‘lni bosib o‘tgan bo‘lsa, u holda harakat tezligi: 𝑣= 𝑠 𝑡 yoki 𝑣 ⃗= 𝑟 ⃗ 𝑡 (1.2) bo‘ladi, bunda 𝑟 ⃗ – jismning 𝑡 vaqt ichidagi ko‘chishini bildiradi. Tezlikning o’lchov birligi [𝑣] = 1𝑚 1𝑠= 1 𝑚 𝑠. To’g’ri chiziqli tekis harakatning tezligi deb, jismning har qanday vaqt ichidagi ko’chishining o’sha vaqtga nisbatiga teng bo’lgan kattalikka aytiladi, demak u harakat jadalligini ifodalaydi va son qiymat jihatidan vaqt birligida bosib o’tilgan yo’lga teng: Тezlik vektori ko’chish yo’nalishi bilan bir xil yo’nalgan. (1.2) formuladan bosib o‘tilgan yo‘lning formulasini hosil qilamiz, ya’ni: 𝑆= 𝑣∙𝑡 (1.3) Demak, jismning to‘g‘ri chiziqli tekis harakatida o‘tgan yo‘li harakat vaqtiga to‘g‘ri proporsionaldir. Agar 𝑆 ⃗ – jismning ko’chishi desak, uning x o’qqa proyeksiyasi bosib o’tilgan yo’lni ifodalaydi: Demak, S=x-x0 , bu ifodani yo’l formulasi bilan birlashtirilsa 𝑥= 𝑥0 + 𝑣𝑥𝑡 bu ifoda to’g’ri chiziqli tekis harakat qilayotgan jismning harakat tenglamasi. Agar jisn harakati tekislikda, ya’ni X0Y koordinatalar o’qiga nisbatan sodir bo’layotgan bo’lsa, uning harakat tenglamasi y va x bo’yicha harakat tenglamalari yig’indisidan iborat bo’ladi: 𝑥= 𝑥0 + 𝑣𝑥𝑡 𝑦= 𝑦0 + 𝑣𝑦𝑡 Bu tenglamalardan jismning X0Y koordinata bo’yicha ko’chishi quyidagicha topiladi: 𝑆= 𝑆𝑦 2 + 𝑆𝑥 2 = 𝑡√𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑥 2 1.3 – rasmda to‘g‘ri chiziqli tekis harakatining tezlik grafigi tasvirlangan. To’g’ri chiziqli tekis harakatda bu bog’lanish shundan iboratki, tezlik vaqt o’tishi bilan o’zgarmaydi. Shuning uchun bu holda tezlik grafigi vaqt o’qiga parallel bo’lgan to’g’ri chiziq bo’ladi. (1.3) formulani e’tiborga olib, to‘g‘ri chiziqli tekis harakatda jism bosib o‘tgan yo‘l 1.3–rasmdagi shtrixlangan to‘g‘ri to‘rtburchakning yuziga son jihatdan teng bo‘ladi. 0 x 𝑆 ⃗ x 𝑆𝑥 X Yo‘l grafigini yasashda absissa o‘qini vaqt o‘qi, ordinata o‘qini yo‘l o‘qi qilib olamiz (1.4 – rasm). Natijada koordinatalar boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘lgan yo‘l grafigini hosil qilamiz. Bu to‘g‘ri chiziqning vaqt o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan 𝛼 burchagining tangensi 𝑣 tezlikka teng bo‘ladi, ya’ni: 𝑣= tg 𝛼= 𝑆1 𝑡1 (1.4) 1.3-rasm 1.4-rasm To‘g‘ri chiziqli tekis harakatning tezligi qancha katta bo‘lsa, yo‘l grafigi vaqt o‘qi bilan shuncha katta burchak tashkil qiladi. To'g'ri chiziqli tekis o'zgaruvchan harakat Tabiatda vaqt o‘tishi bilan tezligi o‘zgarib turadigan harakatlar ko‘p uchraydi. Masalan, trolleybus va avtobuslarning harakatini kuzatar ekanmiz, yo‘lning ba’zi qismlarida sekinroq harakatlanishini to‘xtash joylarida esa tezlik nolga teng bo‘lishini ko‘ramiz. Bunday harakat notekis yoki o‘zgaruvchan harakat deyiladi. Notekis harakatda o’rtacha tezlik tushunchasi kiritiladi. Harakat davomida tezliklar o’zaro qo’shilib uning o’rtacha qiymati olinadi yoki: 𝑣 ⃗𝑜′𝑟𝑡= 𝑆 ⃗1 + 𝑆 ⃗2 𝑡1 + 𝑡2 . (1.5) Bu ifoda moddiy nuqta yo’l qismlarida o’zgarmas tezlik bilan harakatlanayotgan xol uchun qo’llaniladi. Jismning oniy tezligi deb, uning muayyan bir paytdagi yoki trayektoriyaning ma’lum bir nuqtasidagi tezligiga aytiladi. Notekis harakatning trayektoriyasining biror nuqtasidagi oniy tezligi shu nuqta atrofidagi juda qisqa S masofadagi tezligiga teng: 𝑣𝑜𝑛𝑖𝑦= lim ∆𝑡→0 ∆𝑆 ∆𝑡= 𝑑𝑆 𝑑𝑡 (1.6) Notekis harakatlarda esa oniy tezlik har xil nuqtalarda va har xil paytlarda turlicha bo’ladi. Demak, vaqt o‘tishi bilan jism tezligi o‘zgarib borsa, bunday harakat o‘zgaruvchan harakat deyiladi. Harakat trayektoriyasi to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘lgan o‘zgaruvchan harakat to‘g‘ri chiziqli o‘zgaruvchan harakat deb ataladi. O‘zgaruvchan harakatining eng sodda turi tekis o‘zgaruvchan harakatdir. Agar jismning 𝑣0 tezligi 𝒕 vaqt davomida 𝑣 qiymatgacha o‘zgargan bo‘lsa, u holda tezlanish tushunchasi kiritiladi: 𝑎 ⃗= 𝑣 ⃗⃗−𝑣 ⃗⃗0 𝑡 , birligi [𝑎] = м 𝑠𝑒𝑘2 (1.7) ya’ni tezlanish – bu birlik vaqt ichida tezlik vektorining o’zgarishiga teng bo’lgan kattalik. Tekis o‘zgaruvchan harakatda har qanday teng vaqt oraliqlari davomida tezlik ayni bir kattalika o‘zgaradi, binobarin tezlanish o‘zgarmas ( const a  ) bo‘ladi. Tekis o‘zgaruvchan harakatni tekis tezlanuvchan va tekis sekinlanuvchan harakatlarga ajratiladi. Har qanday teng vaqt oraliqlarida tezligi bir tekis ortib boradigan harakat tekis tezlanuvchan harakat deyiladi va bunday harakatda tezlanish musbat ( 0  a  ) va yo‘nalishi tezlik yoki harakat yo‘nalishi bilan bir xil bo‘ladi. Har qanday teng vaqt oraliqlarda tezligi bir tekis kamayib boradigan harakat tekis sekinlanuvchan harakat deb ataladi va bunday harakatda tezlanish manfiy bo‘lib (𝑎 ⃗< 0), tezlik yo‘nalishiga qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘ladi. (1.7) formuladan  ni topamiz: at   0   . (1.8) (1.8) formula tekis tezlanuvchan harakatining tezligini ifodalaydi.Tekis sekinlanuvchan harakatda 0  a  ekanini nazarga olsak, u holda (1.8) formula quyidagi ko‘rinishga keladi: at   0   (1.9) Tekis o‘zgaruvchan harakatini tezligini grafigi 1.5 – rasmda berilgan. 1.5 – rasm 1.6 – rasm (1.8) formulani ikkala tomonini dt ga ko‘paytiramiz, ya’ni: 𝑣∙𝑑𝑡= 𝑣0 ∙𝑑𝑡+ 𝑎𝑡∙𝑑𝑡 (1.10) yoki 𝑑𝑆= 𝑣0 ∙𝑑𝑡+ 𝑎𝑡∙𝑑𝑡 (1.11) (1.11) formulani ikkala tomonidan integral olamiz: ∫𝑑𝑆 𝑆 0 = ∫𝑣0𝑑𝑡 𝑡 0 + ∫𝑎𝑡∙𝑑𝑡 𝑡 0 (1.12) Shunday qilib, to‘g‘ri chiziqli tekis tezlanuvchan harakat uchun yo‘l formulasi quyidagicha bo‘ladi: 𝑆= 𝑆0 + 𝑣0𝑡+ 𝑎𝑡2 2 , (1.13) bunda 𝑆0 - integrallashning doimiyligi. (1.13) formuladagi yo‘lning grafik tasviri 1.6 – rasmda berilgan. Xuddi shunday to‘g‘ri chiziqli tekis sekinlanuvchan harakat uchun yo’l formulasi: 𝑆= 𝑆0 + 𝑣0𝑡−𝑎𝑡2 2 . (1.14) Demak, to’g’ri chiziqli tekis tezlanuvchan va tekis sekinlanuvchan harakatlar qilayotgan jismning harakat tenglamalari quyidagicha bo‘ladi: 𝑥= 𝑥0 + 𝑣0𝑡+ 𝑎𝑡2 2 𝑥= 𝑥0 + 𝑣0𝑡− 𝑎𝑡2 2 (1.15) AB tezlik grafik chizig’ining absissa o’qi bilan hosil bo’lgan OABC trapetsiyaning yuzi SOABC o’tilgan S yo’lga teng (1.7-rasm). Тekis o’zgaruvchan harakatdagi bosib o’tilgan yo’lni grafikdan foydalanib quyidagicha yozamiz: 𝑆= 𝑣0 ∙𝑡+ 𝑎𝑡2 2 (1.16) Agar jismning boshlang’ich tezligi 0 ga teng bo’lsa, u holda formula quyidagi ko’rinishga keladi: 2 2 at S  (1.17) 1.7-rasm Agar vaqt a t 0    bo’lsa o’rtacha tezlik bilan harakat qilayotgan jismning bosib o’tlgan S yo’l: a a S 2 2 0 2 0 2 0             (1.18) To’g’ri chiziqli notekis harakat parametrlarini grafik ravishda tasvirlash. a) yo’l bilan vaqt orasidagi bog’lanish (1.8-rasm): Bu yerda 1-to’g’ri chiziqli tekis tezlanuvchan harakat (𝑎> 0) uchun yo’l va vaqt orasidagi bog’lanish; 2-to’g’ri chiziqli tekis sekinlanuvchan (𝑎< 0) harakat uchun yo’l va vaqt orasidagi bog’lanish. b) jism tezligi bilan vaqt orasidagi bog’lanish (1.9-rasm): 1-jismning boshlang’ich tezligi nolga teng va 𝑎> 0 bo’lgan xol; 2-jismning boshlang’ich tezligi noldan farqli va 𝑎> 0; 3-jismning boshlang’ich tezligi noldan farqli va 𝑎< 0. Egri chiziqli harakat. Aylanma harakat. Yuqorida qayd qilib o‘tganimizdek, trayektoriyasi egri chiziqdan iborat bo‘lgan harakat egri chiziqli harakat deb ataladi. Tabiatda va texnikada egri chiziqli harakat ko‘p uchraydi. Masalan, kosmik fazoda sayyora va sun’iy yo’ldoshlar, Yerda esa xilma-xil transport vositalari, mashina va mexanizmlarning qismlari, daryo suvi atmosfera havosi va hokazolar egri chiziqli trayektoriya bo’ylab harakat qiladi. Egri chiziqli harakatda moddiy nuqtaning harakat trayektoriyasi uning ko’chish vektori 1.8-rasm 1.9-rasm S t 2 1 t 1 𝑣 3 2