Xaritanining matematik asoslari
Reja
1.
Xaritani matematik asosi haqida tushuncha
2.
Kartografik proyeksiyalardagi xatoliklar
3.
Kartografik proyeksiyalar haqida tushuncha, ularning turlari
Tayanch so’zlar: proyeksiyalar,masshtab, geodezik asos, komponovka,
globus, meridian, parallel, qutb, ekvator, yer markazi, bosh meridian, sana o’zgarish
chizig’i, proyeksiya, teng maydonli, teng xajmli, uzunlik xatosi, burchak xatosi,
maydon xatosi, shakl xatosi, bosh masshtab, xususiy masshtab. azimuthal, silindrik,
konusli, kondalang silindrik, qiyshiq silindirik, tog’ri silindrik
Kartani matematik asosi haqida tushuncha
Kartani matematik asosi —kartani matematik elementlari majmuidan tarkib
topib, ular tasvirlanayotgan yuza va karta o’rtasidagi matematik aloqani
belgilaydilar. Proyeksiya, masshtab, geodezik asos, shuningdek komponovka tizimi
kartaning matematik asos elementlari bo’lib hisoblanadi
Kartaning matematik asos elementlari —Er yuzasini tekislikda ma’lum
matematik qonun va qoida asosida to’g’ri va aniq tasvirlash imkonini beradi.
Masshtab kartografik modelning fazoviy chegaralarini aniqlaydi. Kartada o’lchash
mumkin bo’lgan aniqlik, karta mazmunining mukammalliligi, karto-grafik
tasvirning
aniqligi
bevosita
uning
masshtabiga
bog’liq
bo’ladi.
Karta
masshtabining yirik yoki maydaligi uning maqsadiga qarab belgilanadi.
Ellipsoid yoki shar yuzasini tekislikda matematik to’g’ri aks ettirishga
kartografik proyeksiya deyiladi.
Kartalarni o’qish va uni plandan farqini ajrata bilish uchun va ellipsoid (shar)
sirtni tekis yuzaga (kartaga) tushurishda hosil bo’ladigan o’zgarishlarni tasavvur
qilish uchun kartografik proyeksiyalar to’g’risida ma’lumotga ega bo’lish kerak.
Erning qabariq yuzasini tekis yuzada, ya’ni kartada matematik yo’l bilan
tasvirlash usuli Kartografik proyeksiya deyladi. Kartografiyada Er yuzasini ellipsoid
yuza deb qabul qilinib, uni konus va silindrga solib, so’ng yoyib tasvirlanadi.
Natijada ochiq joylar (deformasiya natijasida) hosil bo’lib, bu ochiq joylarni to’ldirib
tasvirlash uchun ular «cho’ziladi» natijada tasvirlangan yuzalarning masshtabi
hamma joyda bir xil bo’lmaydi.
Kartografik proyeksiyalardagi xatoliklar
Kartografik proyeksiyalar nazariyasi bo’yicha ellipsoid yuzasidagi juda kichik
aylana (doira) tekislikka tasvirlanganda ellipsga aylanadi va uni ellips xatoligideb
yuritiladi. Xatolik natijasida er yuzasidagi shakllar geometrik jihatdan o’zgaradi. Bu
o’zgarishlar chiziqlar uzunligida, yo’nalishlarning gorizontal burchaklarida,
geografik ob’ektlarning shaklida va maydonida vujudga keladi. Demak kartalardagi
xatoliklar to’rt xildir (shuni ham unutmaslik kerakki, bu xatoliklarni bilib turib yo’l
qo’yiladi, chunki bu jarayon bo’lishi muqarrardir), bu xatoliklar quyidagilardir (16-
rasm):
1. Masofa yoki uzunlik xatoligi.
2. Burchak xatoligi.
3. SHakl xatoligi.
4. Maydon xatoligi.
Uzunlik yoki masofa xatoligi asosan masshtabga bog’liq bo’lib,16 rasmda 2
parallel orasidagi meridian uzunligi 2 xil tasvirlangan. Masalan, AV chizig’i (700
meridianda) SD (1400 meridianda) bir-biriga teng emasligi ko’rinib turibdi.
Ekvatorda uzunlik masshtabi bir xil bo’lib u bosh masshtab deb yuritiladi. Mayda
masshtabli kartalarda uzunlik masshtabi ekvator bilan boshlang’ich meridianda
o’zgarmay saqlanib qoladi, ya’ni xatolik bo’lmaydi. Geografik kartalarda xatosiz
tasvirlangan joylardagi uzunlik masshtabi o’zgarmaydi. Xatolik bilan tasvirlangan
maydonlarda, masshtablar o’zgaruvchan bo’ladi, u xususiy masshtab deyiladi.
Geografik kartalarda, odatda bosh masshtab ko’rsatilib u kartalarning janubiy
ramkasini tagiga yoki shimoliy ramkaning tepasiga yozib qo’yiladi.
Uzunlik xatoligi. Agar dunyo kartasi bilan yarimsharlar kartasidagi ekvatorni
va 600 li parallellarni taqqoslasak, ulardagi meridianlar oralig’idagi farq ko’zga
tashlanadi. CHunki 600 li parallel uzunligi ekvator uzunligidan 2 marta qicqadir.
Burchak xatoligini kartalarda aniqlash uchun yo’nalishlar oraliqlarining
gorizontal burchaklarini ellipsoid yuzada va er yuzasida o’lchash kerak. Bu xatolik
16-rasmda (5) ko’rsatilgan. Kartadagi burchak xatolikni ko’z bilan ham ko’rish
mumkin. Masalan, meridian va parallellar o’zaro kesishib to’g’ri 900 li burchak hosil
qilmasa, burchak xatoligi bor demakdir.
SHakl xatoligini kartadagi bir kenglikda yotgan kartografik to’rlarni bir-birlari
bilan taqqoslash orqali aniqlash mumkin. 16-rasmda 00-100 oralig’idagi shtrixlangan
shakllarda ko’rsatilgan. Undan tashqari 16-rasmda Kamchatka yarim oroli
globusdagidan ancha katta qilib tasvirlangan.
Maydon xatoligi maydon masshtabi bilan bog’liq. SHu bilan birga shaklga
ham bog’liqdir. 16-rasmdagi shakllar bilan bir qatorda maydon ham o’zgarganligi
ko’rinib turibdi.
Kartalardagi xatoliklarni o’lchash yo’li bilan hisoblasa bo’ladi. Masofa yoki
uzunlik xatoligini () aniqlash uchun
masshtab
bosh
masshtab
xusussiy
μ
formulasidan
foydalaniladi. Bosh masshtab aniq, u kartada yozib qo’yiladi. Xususiy masshtabni
aniqlash uchun quyidagi
,
L
l
m
formuladan foydalanamiz, m -xususiy masshtab,
l -kartadagi meridian yoki parallel yoyning uzunligi (sm hisobida), L-er yuzasidagi
shu meridian yoki parallel yoyning haqiqiy uzunligi (Lning qiymati kitobning 1-
ilovasida berilgan). Masalan, Rossiyaning 1:20 millionli kartasida Qarag’anda va
Norilьsk shaharlari atroflarining xususiy masshtablarini aniqlash kerak bo’lsin.
Qarag’anda shahri 500 parallelda joylashgan. Kartada bu kenglikdagi 100 parallel
yoyning uzunligi 3,6 sm, Er yuzasidagi 100 yoy uzunligi 71 697 000 sm (1-ilovadan
olingan). Bu qiymatlar formulaga qo’yilsa:
.
см
199158000
1
см
71697000
см
3,6
L
l
m
Norilsk shahri 700 parallel yaqinida joylashgan bo’lib, bu erda 100 yoy
uzunligi kartada 2 sm Er yuzasidagi 10 yoy uzunligi 38 187 000 sm (1-ilovadan
olingan). Bu qiymatlar formulaga qo’yilsa:
см
19093500
1
см
38187000
см
2
L
l
m
bo’ladi.
Uzunlik xatoligi (mьyu) hamma joyda bir xil bo’lmasdan meridian bo’yicha
bo’lsa (m) bilan, parallel bo’yicha (n). Muayyan aniqlanishi kerak bo’lgan nuqtadagi
eng katta uzunlik xatolik ko’rsatkichi lotin alfaviti (а ) bilan, eng kam xatolikni (в )
bilan belgilanadi. Eng katta xatolik va eng kichkina uzunlik xatoliklarni Bosh
yo’nalishlar deb yuritiladi.
Kartografik to’r bilan yo’nalishlar orasidagi burchak xatoligi 900 ga farq qilib,
grekcha (ξ ) epsilon bilan belgilanadi. ξ =00-900, (teta) ya’ni meridian bilan
parallel orasidagi o’lchangan burchak 16-rasmda =1150bo’lsa ξ =1150-900=250.
Umumiy burchak xatolik ko’rsatkichi (amego) bilan belgilanib, kartadagi
burchak xatoligi bilan Er yuzasidagi burchak xatoligi orasidagi farq quyidagi
formula bilan aniqlanadi:
.
2
в
а
в
а
Sm
Maydon xatoligi (R) bilan belgilanib, R=а в formula bilan aniqlanadi.
SHakl xatoligi (k) nuqtadagi eng katta (a) va eng kichik (v) uzunlik
xatoliklariga bog’liq bo’lib,
в
а
к
formula bilan aniqlanadi.
Uzunlik xatoligisiz proyeksiyalar bo’lmaydi. Lekin burchak va maydon
xatoligisiz proyeksiyalar bo’ladi.
Xulosa qilib aytganda, xatoliklarning vujudga kelishini, globusni meridianlar
bo’yicha tilimlarga bo’lib, ekvator chizig’i bo’yicha yoyganda tilimlar orasida ochiq
joylar hosil bo’lishini ko’rish mumkin. Bu xatolik u shimol va janubga tomon
kattalashib boradi.Bu ochiq joylarni «to’ldirish» natijasida xatolik paydo bo’lishini,
globusni parallellar bo’yicha ham tilimlarga bo’lib, tasvirlaganda ham ochiq joylar
hosil bo’lishini ko’rish mumkin. Ularni ham «to’ldirish» natijasida xatolik vujudga
keladi. Nihoyat Er sharining usti tekis bo’lmasdan (globusda tasvirlaganimizdek
silliq emas), har xil relyef shakllardan: tog’lar, tekisliklar, chuqur botiqlardan iborat
bo’lib, ularni tekislikka yoyib tasvirlaganda ham xatolikka yo’l qo’yiladi.
Kartografik proyeksiyalar haqida tushuncha, ularning turlari.
Kartografik proyeksiyalar bir-birlariga bog’liq bo’lmagan xatoliklar va
kartografik to’rlarga qarab farq qiladi. Kartografik proyeksiyalar xatoliklariga ko’ra
teng burchakli, teng maydonli va ixtiyoriy proyeksiyalarga bo’linadi. Ixtiyoriy
proyeksiyalarda teng oraliqlik proyeksiyalar ko’proq qo’llaniladi.
Teng burchakli proyeksiyalarda burchak xatoligi bo’lmaydi. Bunday
proyeksiyada tuzilgan geografik kartalarning hamma joyidagi barcha yo’nalishlarida
burchaklar qiymati saqlanib qoladi. Kartada maydon va masofa o’zgaradi. 17-
rasmda tasvirlangan teng burchakli stereografik azimutal proyeksiyada ekvatorda
tasvirlangan xatosiz aylana ekvatordan uzoqlashgan sari kattalashib, maydoni oshib
boradi, lekin shakli o’zgarmaydi. Teng burchakli proyeksiyalarda burchak aniqligi
talab qilinadigan dengiz va aeronavigasiya kartalari tuziladi.
Teng maydonli proyeksiyalarda kartadagi maydon bilan er yuzasidagi maydon
o’rtasidagi proporsionallik saqlanadi. Kartaning markazida tasvirlangan aylana
ramka chekkalariga borib ellipsga aylansa ham maydoni o’zgarmaydi (18-19-
rasmlar).
Xatoliklarni iloji boricha kamaytirish maqsadida ixtiyoriy proyeksiyalardan
foydalaniladi. Teng burchakli proyeksiyada burchak xatosi kamayadi, maydon
xatosi ortadi yoki aksincha bo’ladi, ya’ni karta teng maydonli proyeksiyada tuzilsa
maydon xatoligi kamayib burchak xatoligi ortadi (20-rasm). YA’ni teng maydonli
proyeksiyada tuzilsa maydon xatoligi kamayib burchak xatoligi ko’payadi. Har
ikkala xatolik bir xil miqdorda bo’lishi uchun teng oraliqli proyeksiyalardan foy-
dalaniladi.
Teng
oraliqli
proyeksiyalarda
meridianlar
va
parallellar
bo’yicha
masshtabning doimiyligi saqlanadi, shakl, burchak va maydon xatoliklari ro’y
beradi. 20-rasmda ekvatorda olingan aylanadan uzoqlashgan sari shakli va maydoni
o’zgarganligi ko’rsatilgan. Teng oraliqli proyeksiyalar ixtiyoriy proyeksiyalar ichida
eng ko’p qo’llaniladi.
Kartalarda xatolik bo’lmaydigan, nuqtalarni xatoligi yo’q nuqtalar, agar
chiziq bo’lsa, xatoligi yo’q chiziqlar deb ataladi
Kartografiyada ellipsoid yuzasini tekis yuzada tasvirlash uchun geometrik
shakllar (tekislik, silindr, konus) dan foydalaniladi. Foydalanilgan geometrik
shakllar proyeksiya nomi bilan ataladi. Masalan: azimutal (tekislik) silindrik,
konusli, ko’p konusli, psevdosilindrik, psevdokonusli va shartli proyeksiyalar.
Azimutal proyeksiya tuzish uchun geometrik shakl- tekislikdan foydalaniladi.
Er sharini tekislikka yoyib biror nuqtasiga tekislikning urinma bo’lishi natijasida
azimutal proyeksiyalar hosil bo’ladi. Agar tekislik Er sharining qutblariga urinma
bo’lsa, qutbiy azimutal, ekvator chizig’iga urinma bo’lsa, ekvatorial azimutal, Er
yuzining boshqa biror nuqtasiga urinma bo’lsa, gorizontal yoki qiyshiq azimutal
proyeksiyalar hosil bo’ladi.
Qutbiy azimutal proyeksiyalarda shimoliy va janubiy yarim sharlar, Arktika
va Antarktida hamda osmon sferasining shimoliy va janubiy yarim sharlar kartalari
tuziladi. Bu proyeksiyalarda meridianlar markazi qutbda bo’lgan to’g’ri
chiziqlardan, parallellar esa markazdan uzoqlashgan sari radiusi oshib boradigan
konsentrik aylanalardan iborat bo’ladi. Xatosiz nuqta qutblar hisoblanadi
Figure 6.7 Map projections: (a) projection planes; (b) projection aspects1
Ekvatorial azimutal proyeksiyada yarim sharlar (sharqiy va g’arbiy yarim
sharlar) kartasi tuziladi, ularning o’rtasidan o’tgan meridian va ekvator to’g’ri
1Menno-Jan Kraak, Ferjan Ormeling. Cartography: visualization of geospatial data. Edinburgh.
Pearson education limited. 2010. 91-p
chiziqdan, parallellar konsentrik aylanalarning yoylaridan, qolgan meridianlar esa
radiusi har xil kattalikka ega bo’lgan aylananing yoylaridan iborat bo’ladi. Xatosiz
nuqtalar g’arbiy yarim sharda odatda 1100 g’arbiy uzoqlik va 00 kenglikda, sharqiy
yarim sharda esa 700 sharqiy uzoqlik va 00 kenglikda joylashadi .
Qiyshiq azimutal proyeksiyalarda esa tasvirlanayotgan hududning o’rtasi
tekislikka urinma qilinib olinadi hamda o’sha nuqta xatoligi nolga teng nuqta deb
hisoblanadi. Bu proyeksiyalarda materik va okean kartalari tuziladi.
Tasvirlanayotgan hududning o’rtasidan o’tgan meridian to’g’ri chiziq holatida
tasvirlanib, qolgan meridianlar va parallellar yoy chiziqlardan yoki qiyshiq
chiziqlardan iborat bo’ladi. Faqat Afrika tasvirlanagan kartadagina uning o’rtasidan
o’tgan meridian hamda ekvator chizig’i to’g’ri chiziq holatida tasvirlanadi (23-
rasm).
Silindrik proyeksiyalar. Bu proyeksiyalarni yasash uchun Er shari silindrning
ichiga urinma qilib tushirilib, so’ng silindr sirti bo’yicha kesilib, tekislikka yoyiladi.
Bunda Er sharining silindr yon sirtiga tegib turgan joylarida (chiziqlarida) xatolik
bo’lmaydi, lekin shu chiziqdan uzoqlashgan sari xatolik oshib boradi.
Er o’qining silindr o’qiga nisbatan joylanishiga qarab bu proyeksiyalar 3 xil
bo’ladi:
a) Agar silindrning o’qi Erning aylanish o’qiga ustma-ust tushsa, to’g’ri
silindrik proyeksiya hosil bo’ladi. Bunda meridian va parallellar o’zaro
perpendikulyar to’g’ri chiziqlardan iborat bo’ladi. Dunyo kartalari va dengiz
navigasiya kartalari shu proyeksiyada tuziladi;
b) Agar Erning aylanish o’qi silindr o’qining ustiga ustma-ust tushmasdan
unga tik bo’lsa, ko’ndalang silindrik proyeksiya hosil bo’ladi, unda meridian va
parallellar bir-biriga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqlardan iborat bo’ladi. Bu
proyeksiya topografik kartalar tuzishda qo’llaniladi. Nemis olimi Gauss (1777-1855)
topografik kartalarning proyeksiyalarini tuzishda ko’ndalang silindrik proyeksiyani
1825 yili birinchi bo’lib qo’llagan.
v) Er sharining o’qi silindrning o’qiga to’g’ri kelmasa, qiyshiq yilindrik
proyeksiya hosil bo’ladi.
Konusli proyeksiyalarni yasash uchun er sharini konus ichiga tushirib, undagi
meridian va parallellarni uning sirtiga o’tkazib so’ng tekislikka yoyiladi. Konus o’qi
